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一、矩阵相似是指：设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B。("P^(-1)"表示P的-1次幂，也就是P的逆矩阵， "*" 表示乘号， "~" 读作"相似于"。
)二、它的性质如下：设A，B和C是任意同阶方阵，则有：(1)A~A(2) 若A~B，则B~A(3) 若A~B，B~C，则A~C(4) 若A~B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|(5) 若A~B，且A可逆，则B也可逆，且B~A。
(6) 若A~B，则A与B有相同的特征方程，有相同的特征值。若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。
三、矩阵合同是指合同矩阵:两个实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵P，使得就称矩阵A和B互为合同矩阵，并且称由A到B的变换叫合同变换。
四、合同矩阵的性质如下：反身性:任意矩阵都与其自身合同;对称性:A合同于B，则可以推出B合同于A;传递性:A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C;合同矩阵的秩相同。
相似 存在可逆矩阵 P 使得 (P-1)AP=B矩阵相似 特征值一样合同 存在 矩阵 C使得 (Ct)AC=B合同不一定相似 合同只能拥有相同的惯性指数合同要实对称矩阵。实对称矩阵 如果相似必合同 合同不一定相似。。。[] 查看原帖>>
对于具体的矩阵，可以分别化到标准型，然后得到相应的变换矩阵对于抽象的矩阵，得看抽象到什么程度，有哪些可用的信息
合同或相似矩阵
必有相同的秩,
故必是等价的.
但合同不一定相似,
相似也不一定合同
但正交相似时即合同又相似
本质的区别就是矩阵相似,若当块不变（就是简单当成特征值不变）.矩阵合同,保持特征值的符号（即正负号）不变.
相似，p^(-1)AP=B, 则称A相似B；
合同， XT AX=B，则称A，B合同；
简而言之，相似就是两个矩阵经过初等变换能从A变到B，此时有相同的秩，特征值；
合同就是两个矩阵有相同的正负惯性指数来进行判断
相似则特征多项式相同,特征值相同,行列式相等,迹相等,秩相等合同则秩相等两者不能互推但在可对角化前提下,相似必合同
矩阵合同的性质是?还有,矩阵若相似就一定合同么?求大神们解答,答：以下依网文整理,没有进行严格证明分析,仅供参考。命题一：实对称矩阵A相似于实对角阵B；那么A合同于B。
简言之：两实对称矩阵相似,一定合同。注：实对称矩阵,即满足A'=A的矩阵A。实对称矩阵之间的相似,称为正交相似,相应的变换矩阵为正交矩阵。 正交相似变换矩阵P,P^(-1)=P',P既是相似变换也是合同变换。
这里P'表P的转置。证：T'AT=diag{x1,x2,。。。,xn}（x1,。。。,xn为A的特征值）Q'BQ=diag{y1,y2,。。。,yn}（y1,。。。,yn为B的特征值）注：以上是说,实对称矩阵必定合同于对角阵。
由于A和B相似,故可令xi=yi=>T'AT=Q'BQ（T和Q均为正交阵）=>(Q')^(-1)*左侧*Q^(-1)=[TQ^(-1)]'ATQ^(-1)=(Q')^(-1)*右侧*Q^(-1)=B令C=TQ^(-1),上式即C'AC=B,且C可逆,故A合同于B。
更强的命题——谱分解定理：实对称矩阵正交相似于对角阵。注：也就是说如果A是实对称矩阵,不仅存在可逆阵P使得D=P^{-1}AP是对角阵,而且还可以要求P是正交阵注：上面讲了,对于实对称矩阵,相似一定合同。
此时,可 用正负惯性指数（此时分别等于正负特征 值重数之和）衡量合同性。 而在非对称矩 阵情形下,不能用正负惯性指数判别合同 性,且相似合同无直接联系。命题二：实对称矩阵A和B合同,不能推出A,B相似,即合同不一定相似。
例如：对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵,而单位矩阵只能和单位矩阵相似。综述：相似不一定合同,合同不一定相似；实对称矩阵相似一定合同,合同不一定相似。 。