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抱歉，我不是文史专家，所以回答仅供参考。
目前文史界的一般看法是老子是晚于夫子的作品。
而目前一般的看法是夫子开创了中国的私学传统（也就是说夫子之前肯定已经有私学的事情了，但不成传统，或说因为影响不大，不为人所知），所以在夫子之前并没有老师的概念（拜师、师承等等），当然夫子幼年贫寒，其学问不是家传，那就一定需要学习，夫子入太庙，每事问。也就是说，夫子应该是抓住每个学习的机会孜孜以求，其态度是三人行必有我师焉。所以史记的记载一定是确有其事的，但是否和老子这个作品有什么关系，这个实在不好说，由于史记基本是一个信史，可以推断太史公之时，由于其史官的家传传统，他应该是掌握了很多史料（当然也可能是很多传言、野史之类），就算是传言，也不可能空穴来风，同时论语也记载了很多夫子访问在野贤人（一般都认为是道家流派，当然这时还没有道家，但应该说这是一个比较传统的沿袭）。
所以，我个人的观点是，夫子向道家学派（这时应算是前身）的知名贤人求学是应该存在的，但肯定不是明确的师承，否则，论语会有所记录。
据《史记·孔子世家》记载。孔子到周天子所在地洛阳见老子(亦称老聃，孔子同时代人，其生卒年代和世，今已无法确考)问礼
此外《史记·老子韩非列传》、《礼记·曾子问》、《庄子》中《知北游》、《天道》、《天运》等古籍中均记载有“孔子问礼于老子”一事。
老子和孔子之间的关系可以说是朋友又是师徒。
孔子（公元前551年9月28日―公元前479年4月11日），子姓，孔氏，名丘，字仲尼，祖籍宋国栗邑（今属河南省商丘市夏邑县），出生地鲁国陬邑（今属山东省曲阜市）。中国著名的大思想家、大教育家。
《 荀子· 宥坐》记载“孔子观于 鲁桓公之庙，有欹器焉。孔子问于守庙者曰：‘此为何器？’守庙者曰：‘此盖为宥坐之器。’孔子曰：‘吾闻宥坐之器，虚则欹，中则正，满则覆。’孔子顾弟子曰：‘注水焉。’弟子挹水而注之，果中而正，满而覆，虚而欹。孔子喟然而叹日：‘吁！恶有满而不覆者哉！’”
宥和右的意思相同，也跟侑意思一样，劝说、勉励的意思，坐同座。古时候的人没有桌椅，只能坐地上，公元前面是案几。常用的物品放在右边，所以，座位右边是经常关注的地方。宥坐即座右铭。
欹器的底是尖的，它有个特点：空虚时只能歪斜地放着，即“虚则欹”；当注入一半左右的水，就可端正地摆放，就是“中则正”；但注水又不可太满，水太多了，它又会自动侧翻倒，把水都倒了出来，这就是“满则覆”。
欹器是对它的俗称，当人们利用它的特性赋予了文化内涵后，又送它一个雅号叫宥坐。
老子和孔子之间的关系可以说是朋友又是师徒。
东汉末年有这样一个故事，当时孔子的后代子孙孔融去拜访名士李膺。孔融当时仅10岁，门卫看他年幼，以为是哪家的孩子乱闯，便对他说：“只有当世名士和李氏族人才能进去拜访家主。”孔融当时称自己是李氏族人，因而得以见到李膺。
李膺见到孔融后，调侃他：“我姓李，你姓孔，我们是什么亲戚呢?”孔融则面不改色地回答：“我们的祖先孔子和老子是师徒关系，我们不就是世代交好的亲戚情谊吗?”
东汉之时距离春秋时期还未太过久远，孔融早慧，他还是孔子的子孙后代，应该不会随意编排自己的祖先。所以说老子是孔子的老师是很有可能的。
对于《史记》记载孔子向老子求教，老子告诫孔子说：“去子之骄气与多欲，态色与淫志，是皆无益于子之身。”这是老子劝诫孔子要戒除傲气和对欲望的追求，这也是老子思想推崇的“无欲”的生活态度。
在记载孔子言行的《论语》中，“道”一共出现了100多次，可见老子对孔子的影响之深。晋朝的学者、道学家葛洪说：“道者儒之本也，儒者道之末也。”这也委婉的指出孔子师承于老子。
从种种故事典籍中可以得出孔子曾问学于老子，他们应该是亦师亦友的关系。